有向木上のアバランチ複体の普遍的実現
Universal Realization of Avalanche Complexes on Directed Trees
研究概要
並列チップ発火過程で同時に発火する頂点集合が生成する単体複体を、アバランチ複体という。各頂点の初期チップ数を零または一とし、唯一の吸収点に向かう木の上で、頂点を持つ任意の有限単体複体を誘導部分複体として実現する。明示的な単体崩壊により補助頂点を除き、目標のホモトピー型を保つ。これにより Riihimäki–Smith の第 5 節の問題 2 を有限個の球面のウェッジについて解き、続くねじれと非ウェッジの問いにも答える。整合的なレトラクションにより、空でない有限フィルトレーションも時間の細分と標本化の後に実現できる。別の固定有向路の予想 3.11 は対象外である。完全な数学的証明を与えるが、証明支援系での形式化は未実施である。
元の公開問題
Riihimäki–Smith の問題 2：アバランチ複体の有限実現
Riihimäki and Smith: Avalanche homology of digraphs via sandpile dynamics — Section 5, Question 2 and following torsion/non-wedge questions; finite digraph category. The separate fixed-path Conjecture 3.11 is not addressed.
原文要旨（英語）
The avalanche complex of a parallel chip-firing process is generated by its sets of simultaneously firing vertices. We prove that every finite simplicial complex with a vertex is a simplicial collapse of an avalanche complex on a finite tree directed towards a single absorbing sink, starting from a binary configuration. The construction prescribes a sequence of firing sets on distinguished vertices by sending grains along private delay paths. Each auxiliary vertex fires only once and can be removed without changing the prescribed complex. The resulting retractions commute with the time filtration, giving a realization theorem for finite filtrations after refinement of time. This answers the finite realization question of Riihimäki and Smith and their questions about torsion and non-wedge homotopy types. We give explicit size bounds and an example with first integral homology Z/2Z.
数学の検証
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検証基準