単射な制限がすべて偶となる変換
Transformations with Even Injective Restrictions
研究概要
有限順序集合上の写像について、逆転とは二つの入力の像が逆の順序に並ぶことである。本論文は、像が互いに異なる t 個の入力をどう選んでも逆転数が偶数となる写像を分類する。同じ像を持つ入力が一つのブロックを成し、ブロック数を階数と呼ぶ。得られるブロック条件は、Vítor H. Fernandes が arXiv 2605.12342 で提起した、階数 t と t+1 に関する二つの未解決の場合に答える。これらの写像と、二度作用させても一度の作用と同じになる写像について閉じた計数公式を与え、部分的に定義された写像および逆転数が奇数となる制限にも分類を拡張する。
原文要旨（英語）
We classify the transformations of a finite chain for which every injective restriction to a prescribed number of points is even. The classification separates the kernel partition from the induced permutation of its image. At the critical rank, the kernels are precisely the noncrossing partitions whose gaps between consecutive points of a block contain an even number of whole blocks. Above that rank, the kernels are interval partitions or cyclic-interval partitions, according to the parity of the restriction size. This answers the two missing-rank questions posed by Fernandes. We derive closed formulas for the number of critical kernels, the number of maps in every rank layer, and the number of idempotents. An extension lemma also establishes regularity and describes the Green classes and maximal subgroups. The classification and its enumerative consequences follow from the parity change caused by replacing one representative of a kernel block.
元の公開問題
Vítor H. Fernandes: Groups of permutations that are even on maximal proper subsets, and related monoids — arXiv 2605.12342v1, page 2: the two unnumbered missing-rank questions for Sigma_n^t at ranks t and t+1, 2 ≤ t ≤ n-2.
数学の検証
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検証基準